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题目 1：三体问题的数值模拟¶

1. 物理模型与原理¶

背景：三体问题研究三个天体在相互万有引力作用下的运动规律。这是一个典型的非线性动力学系统，通常表现出混沌行为。

物理定律：

万有引力定律：天体 \(i\) 受到天体 \(j\) 的引力 \(\vec{F}_{ij}\) 满足：

\[ \vec{F}_{ij} = G \frac{m_i m_j}{|\vec{r}_{ij}|^3} \vec{r}_{ij} \]

其中 \(\vec{r}_{ij} = \vec{r}_j - \vec{r}_i\) 为从 \(i\) 指向 \(j\) 的位移矢量。
牛顿第二定律：第 \(i\) 个天体的运动方程为：

\[ \vec{a}_i = \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_i}{\mathrm{d}t^2} = G \sum_{j \neq i} \frac{m_j (\vec{r}_j - \vec{r}_i)}{|\vec{r}_j - \vec{r}_i|^3} \]

状态向量 \(S\) 的构建：在 MATLAB 中求解 ODE 需要将二阶方程转化为一阶方程组。设每个天体的状态由位置 \(\vec{r}=(x, y)\) 和速度 \(\vec{v}=(v_x, v_y)\) 组成。整个系统的状态向量 \(S\) 是一个 \(12 \times 1\) 的列向量，其结构定义为：

\[ S = [\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3, \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3]^T \]

具体展开为：\(S = [x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3, v_{x1}, v_{y1}, v_{x2}, v_{y2}, v_{x3}, v_{y3}]^T\)。演化方程为：

\[ \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = [\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3, \vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3]^T \]

2. 参数与初始条件¶

（注：本题采用归一化单位制，故参数无量纲）

引力常数：\(G = 1.0\)
质量：\(m_1=5, m_2=4, m_3=3\)
初始状态（矢量形式）：
- 天体 1：\(\vec{r}_1 = (-0.970, 0.243)\), \(\vec{v}_1 = (0.466, 0.435)\)
- 天体 2：\(\vec{r}_2 = (0, 0)\), \(\vec{v}_2 = (-0.932, -0.870)\)
- 天体 3：\(\vec{r}_3 = (0.970, -0.243)\), \(\vec{v}_3 = (0.466, 0.435)\)
时间范围：\(t \in [0, 20]\)

3. 要求解的问题与结果展示¶

求解问题：计算 \(t \in [0, 20]\) 时间段内，三个天体的位置随时间的变化。
结果展示：在二维平面上绘制三个天体的运动轨迹，用不同颜色区分，并标记起始位置。

题目 2：有限元法求解静电势¶

1. 物理模型与原理¶

背景：求解二维正方形区域内无自由电荷分布时的静电势。该问题属于椭圆型偏微分方程的边值问题。

物理定律：静电势 \(\phi(x,y)\) 满足拉普拉斯方程：

\[ \nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0 \]

你需要查阅 MATLAB PDE 工具箱文档，确定其标准方程形式中的各项系数，使其等价于上述拉普拉斯方程。

注意：在有限元求解过程中，网格的划分直接影响计算的精度和效率。请在生成网格时设置适当的最大单元尺寸 (Max Mesh Size)，以获得足够精细的结果。

2. 参数与边界条件¶

求解域：单位正方形，范围 \(1\,\mathrm{m} \times 1\,\mathrm{m}\)。
边界条件 (Dirichlet)：
- 上边界 (\(y=1\,\mathrm{m}\))：\(\phi(x, 1) = 100 \sin(\pi x)\,\mathrm{V}\)。
- 其余三条边界（下、左、右）：\(\phi = 0\,\mathrm{V}\)。

3. 要求解的问题与结果展示¶

求解问题：使用有限元法（Finite Element Method, FEM）计算区域内所有节点的电势 \(\phi\)。
结果展示：绘制静电势分布的等高线填充图（Contourf plot）。

题目 3：亥姆霍兹线圈的磁场分布¶

1. 物理模型与原理¶

背景：亥姆霍兹线圈由两个相同的圆形线圈组成，同轴平行放置，间距等于半径。这种结构能在中心区域产生高度均匀的磁场。

物理定律：根据毕奥-萨伐尔定律，电流回路在空间产生的磁场为：

\[ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint_C \frac{\mathrm{d}\vec{l} \times \vec{r}}{|\vec{r}|^3} \]

其中 \(\vec{r}\) 为电流元 \(\mathrm{d}\vec{l}\) 指向观测点的相对位置矢量。对于半径 \(R\)、位于 \(z=z_c\) 的圆环，参数方程为 \((R\cos\theta, R\sin\theta, z_c)\)。你需要基于上述矢量公式，推导出在 \(xz\) 平面 (\(y=0\)) 上磁场分量 \(B_x\) 和 \(B_z\) 的积分表达式。

2. 参数与初始条件¶

物理参数：\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}\)，电流 \(I=100\,\mathrm{A}\)，半径 \(R=0.5\,\mathrm{m}\)，间距 \(d=0.5\,\mathrm{m}\)。
线圈位置：\(z_1 = -0.25\,\mathrm{m}\), \(z_2 = 0.25\,\mathrm{m}\)。
计算区域：\(xz\) 平面，\(x \in [-1, 1]\,\mathrm{m}\), \(z \in [-1, 1]\,\mathrm{m}\)。
计算网格：在 \(xz\) 平面上均匀选取 \(101 \times 101\) 个格点。
奇点回避：由于在线圈导线位置处磁场趋于无穷大，不要计算线圈截面中心周围半径 \(r_{ex} = 0.1\,\mathrm{m}\) 范围内的磁场。

3. 要求解的问题与结果展示¶

求解问题：计算网格点上的总磁场矢量 \(\vec{B} = \vec{B}_{coil1} + \vec{B}_{coil2}\)。对于靠近线圈导线的区域，数值设为无效值 (NaN)。
结果展示：
1. 使用颜色图 (imagesc 或 pcolor) 显示磁场的大小 \(|\vec{B}|\)。
2. 使用箭头图 (quiver) 显示磁场的方向，要求在横向和纵向各均匀选取 16 个点进行绘制（共 \(16 \times 16\) 个箭头）。

题目 4：考虑空气阻力的弹道优化¶

1. 物理模型与原理¶

背景：物体在空气中运动时受到阻力，阻力大小通常与速度平方成正比，且空气密度随海拔升高而降低。这是一个变系数的非线性动力学问题。

物理定律：

空气密度模型：\(\rho(y) = \rho_0 e^{-y/h_0}\)。
阻力公式：\(\vec{F}_\mathrm{d} = -\frac{1}{2} C \rho(y) A |\vec{v}| \vec{v}\)。
运动方程：

\[ \begin{cases} \ds m \ddot{x} = -\frac{1}{2} C \rho A v v_x \\ \ds m \ddot{y} = -mg -\frac{1}{2} C \rho A v v_y \end{cases} \]

2. 参数与初始条件¶

物体：质量 \(m=10\,\mathrm{kg}\)，横截面积 \(A=0.01\,\mathrm{m^2}\)，阻力系数 \(C=0.4\)（无量纲）。
环境：海平面空气密度 \(\rho_0=1.225\,\mathrm{kg/m^3}\)，标高 \(h_0=8500\,\mathrm{m}\)，重力加速度 \(g=9.81\,\mathrm{m/s^2}\)。
发射：初速度 \(v_0=700\,\mathrm{m/s}\)。
优化变量：发射角 \(\theta \in [30^\circ, 60^\circ]\)。

3. 要求解的问题与结果展示¶

求解问题：找到使水平射程 \(R\) 最大的最佳发射角度 \(\theta_{opt}\)。
结果展示：
1. 输出最佳角度和对应的最大射程。
2. 绘制最佳角度轨迹与 45 度（含阻力）轨迹的对比图。

题目 5：含非线性元件的 RLC 电路¶

1. 物理模型与原理¶

背景：RLC 串联电路中包含非线性二极管，导致电路响应产生高次谐波。

说明：

基频 (Fundamental Frequency)：指的是驱动电源的频率 \(\omega\)。
谐波 (Harmonics)：指的是频率为基频整数倍（\(2\omega, 3\omega, \dots\)）的分量。

物理定律：根据基尔霍夫电压定律 (KVL)：

\[ V_L + V_R + V_C + V_\mathrm{diode} = V_\mathrm{source} \]

二极管电压使用 Shockley 方程的近似形式：

\[ V_\mathrm{diode}(i) = n V_T \ln\left(1 + \frac{i}{I_S}\right) \]

电路微分方程（以电荷 \(q\) 和电流 \(i = \displaystyle \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\) 为变量）：

\[ L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + n V_T \ln\left(1 + \frac{i}{I_S}\right) + \frac{q}{C} = V_0 \sin(\omega t) \]

2. 参数与初始条件¶

参数：电感 \(L=0.01\,\mathrm{H}\)，电容 \(C=10^{-5}\,\mathrm{F}\)，电源电压幅值 \(V_0=1\,\mathrm{V}\)，角频率 \(\omega=1000\,\mathrm{rad/s}\)。
二极管：饱和电流 \(I_S=10^{-9}\,\mathrm{A}\)，热电压参数 \(n V_T = 0.05\,\mathrm{V}\)。
时间：模拟 100 个周期。

3. 要求解的问题与结果展示¶

求解问题：计算电路电流 \(i(t)\) 的时间演化，并进行频谱分析。
结果展示：
1. 绘制前几个周期的电流时域波形。
2. 绘制电流的幅值频谱（FFT），展示基频和谐波。

题目 6：二维热传导 (有限元法)¶

1. 物理模型与原理¶

背景：模拟正方形金属板在非均匀边界温度下的热传导过程，观察温度场随时间的变化直至稳态。该问题属于抛物型偏微分方程初边值问题。

物理定律：二维非稳态热传导方程：

\[ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right) \]

你需要查阅 MATLAB PDE 工具箱文档，确定其标准方程形式中的各项系数，使其等价于上述热传导方程。

注意：在有限元求解过程中，请务必设置适当的最大单元尺寸 (Max Mesh Size)，以保证时间演化模拟的数值稳定性及空间分辨率。

2. 参数与初始/边界条件¶

几何：\(1\,\mathrm{m} \times 1\,\mathrm{m}\) 正方形。
热扩散系数：\(\alpha = 1.22 \times 10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}\)。
初始条件：\(T(x,y,0) = 20\,^\circ\mathrm{C}\)。
边界条件：上边 \(T=100\,^\circ\mathrm{C}\)，其余三边 \(T=20\,^\circ\mathrm{C}\)。
时间：\(t \in [0, 20000]\,\mathrm{s}\)。

3. 要求解的问题与结果展示¶

求解问题：使用有限元法计算 \(t=100, 1000, 5000, 20000\,\mathrm{s}\) 时的温度场分布。
结果展示：在同一窗口中绘制四个不同时刻的温度伪彩色图（Pseudocolor plot），共享同一个色标。