MATLAB 傅里叶变换

傅里叶变换是信号处理和数据分析中最重要的工具之一。其核心思想是将一个信号（通常在时域或空域中）分解为其组成成分的频率谱。MATLAB 提供了两大类截然不同的方法来进行傅里叶变换：数值（离散）变换与符号（连续）变换。

• 数值傅里叶变换:

  • 适用场景: 处理离散的、有限长度的信号序列，例如来自传感器采样的数据。
  • 核心算法: 快速傅里叶变换 (FFT)，用于高效计算离散傅里叶变换 (DFT)。
  • 特点: 结果是数值频谱，计算速度极快，是实际应用中的主力。

• 符号傅里叶变换:

  • 适用场景: 当你知道函数的精确数学表达式，并希望得到其傅里叶变换的解析表达式时。
  • 核心算法: 应用微积分的积分法则进行符号运算。
  • 特点: 结果是精确的符号表达式，用于理论分析。需要 Symbolic Math Toolbox。

数值傅里叶变换 (离散)

fft - 快速傅里叶变换

• 功能 使用快速傅里叶变换 (FFT) 算法计算一个向量或矩阵的离散傅里叶变换 (DFT)。

• 数学原理 对于一个长度为 \(N\) 的信号序列 \(x(n)\)（其中 \(n=1, 2, \dots, N\)），其 DFT 定义为：

  \[ X(k) = \sum_{n=1}^{N} x(n) e^{-\mr{i} \tm \frac{2\pi}{N} (k-1)(n-1)} \]

  其中 \(k=1, 2, \dots, N\)。结果 \(X(k)\) 是一个复数序列，其幅度和相位分别代表了信号在各个频率分量上的强度和相位。

• 语法

  Y = fft(X)
  Y = fft(X, n)
  Y = fft(X, n, dim)
  

• 语法说明

  • fft(X): 返回向量 X 的 DFT。如果 X 是矩阵，则对每一列进行变换。
  • fft(X, n): 指定变换的长度 n。如果 n > length(X)，则对 X 进行零填充；如果 n < length(X)，则对 X 进行截断。
  • fft(X, n, dim): 沿着指定的维度 dim 进行变换。

• 示例

  % 1. 创建信号：一个 50Hz 和一个 120Hz 的正弦波叠加
  Fs = 1000;            % 采样频率
  T = 1/Fs;             % 采样周期
  L = 1500;             % 信号长度
  t = (0:L-1)*T;        % 时间向量
  S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
  
  % 2. 执行 FFT
  Y = fft(S);
  
  % 3. 计算双边频谱 P2，然后计算单边频谱 P1
  P2 = abs(Y/L);
  P1 = P2(1:L/2+1);
  P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
  
  % 4. 定义频域 f 并绘图
  f = Fs*(0:(L/2))/L;
  figure;
  plot(f, P1);
  title('fft 示例 - 信号的单边振幅谱');
  xlabel('频率 (f/Hz)');
  ylabel('|P1(f)|');
  

ifft - 快速傅里叶逆变换

• 功能 计算离散傅里叶逆变换 (IDFT)，将信号从频域转换回时域。

• 数学原理 对于一个频域序列 \(X(k)\)，其 IDFT 定义为：

  \[ x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} X(k) e^{\mr{i} \tm \frac{2\pi}{N} (k-1)(n-1)} \]

• 语法

  X = ifft(Y)
  X = ifft(Y, n)
  X = ifft(Y, n, dim)
  

• 示例

  % 延续上一个 fft 的示例
  % Y 是 S 的 FFT 结果
  
  % 使用 ifft 将频域信号 Y 转换回时域
  s_reconstructed = ifft(Y);
  
  figure;
  plot(t(1:100), S(1:100), 'b-', 'DisplayName', '原始信号');
  hold on;
  plot(t(1:100), s_reconstructed(1:100), 'r--', 'DisplayName', 'ifft 重构信号');
  legend;
  title('ifft 逆变换示例');
  xlabel('时间 (t/s)');
  ylabel('信号幅度');
  

fftshift - 零频分量中心化

• 功能 对 fft 和 fft2 的输出进行重新排列，将零频分量移动到频谱的中心。这对于可视化频谱非常重要。

• 原理 fft 的输出结果中，直流分量（0 Hz）位于数组的第一个元素，然后是正频率，最后是负频率。fftshift 通过循环移位将数组的两半进行交换，使得零频位于中心，两侧分别是正负频率。

• 语法

  Y = fftshift(X)
  Y = fftshift(X, dim)
  

• 示例

  Fs = 100;
  t = -5:1/Fs:5;
  x = sin(2*pi*5*t);
  
  Y = fft(x);
  Y_shifted = fftshift(Y);
  
  f_unshifted = (0:length(Y)-1)*Fs/length(Y);
  f_shifted = (-length(Y)/2:length(Y)/2-1)*Fs/length(Y);
  
  figure;
  subplot(2,1,1);
  plot(f_unshifted, abs(Y));
  title('fft 输出 (零频在左侧)');
  
  subplot(2,1,2);
  plot(f_shifted, abs(Y_shifted));
  title('fftshift 输出 (零频在中心)');
  xlabel('频率 (Hz)');
  

ifftshift - 逆零频移位

• 功能 fftshift 的逆操作。在进行 ifft 之前，如果频谱是中心化的，需要用 ifftshift 将其恢复到 fft 的原始排列顺序。

• 语法

  X = ifftshift(Y)
  X = ifftshift(Y, dim)
  

fft2, ifft2 - 二维快速傅里叶变换

• 功能 计算矩阵的二维 DFT 及其逆变换，广泛用于图像处理和分析。

• 数学原理 二维 DFT 是对二维信号（如图像）在两个方向上分别应用一维 DFT：

  \[ X(k_x, k_y) = \sum_{n_x=1}^{N_x} \sum_{n_y=1}^{N_y} x(n_x, n_y) e^{-\mr{i} \tm 2\pi \left[ \frac{k_x-1}{N_x}(n_x-1) + \frac{k_y-1}{N_y}(n_y-1) \right]} \]

• 示例

  I = imread('cameraman.tif');
  F = fft2(I);
  F_shifted = fftshift(F);
  magnitude_spectrum = log(1 + abs(F_shifted));
  
  figure;
  subplot(1,2,1); imshow(I); title('原始图像');
  subplot(1,2,2); imshow(magnitude_spectrum, []); title('二维 FFT 幅度谱');
  

fftn, ifftn - N维快速傅里叶变换

• 功能 计算 N 维数组的 DFT 及其逆变换，是 fft 和 fft2 的通用化版本。

• 语法

  Y = fftn(X)
  X = ifftn(Y)
  

符号傅里叶变换 (连续)

fourier - 符号傅里叶变换

• 功能 计算连续时间函数的解析傅里叶变换 (需要 Symbolic Math Toolbox)。

• 数学原理 连续时间傅里叶变换 (FT) 定义为：

  \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-\mr{i} \tm \omega \tm t} \,\d{t} \]

• 语法

  F = fourier(f)
  F = fourier(f, transVar)
  F = fourier(f, var, transVar)
  

• 语法说明

  • fourier(f): 使用默认变量 t 和变换变量 w。
  • fourier(f, transVar): 指定变换后的频率变量为 transVar。
  • fourier(f, var, transVar): 指定原始函数的自变量为 var，变换后的频率变量为 transVar。

• 示例

  syms t w
  
  % 定义一个高斯脉冲函数
  f = exp(-t^2);
  
  % 计算其傅里叶变换
  Fw = fourier(f, t, w);
  
  disp('高斯脉冲的傅里叶变换是:');
  disp(Fw); % 结果是另一个高斯函数: pi^(1/2)*exp(-w^2/4)
  
  figure;
  subplot(2,1,1);
  fplot(f, [-5, 5], 'LineWidth', 2);
  title('原始函数 f(t)');
  
  subplot(2,1,2);
  fplot(Fw, [-5, 5], 'LineWidth', 2);
  title('傅里叶变换 F(\omega)');
  

ifourier - 符号傅里叶逆变换

• 功能 计算连续频域函数的解析傅里叶逆变换 (需要 Symbolic Math Toolbox)。

• 数学原理 傅里叶逆变换 (IFT) 定义为：

  \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{\mr{i} \tm \omega \tm t} \d{\omega} \]

• 语法

  f = ifourier(F)
  f = ifourier(F, transVar)
  f = ifourier(F, var, transVar)
  

• 示例

  syms t w
  
  % 定义一个频域的 sinc 函数
  Fw = 2*sin(w)/w; % 这是矩形脉冲的傅里叶变换结果
  
  % 对其进行逆变换
  ft = ifourier(Fw, w, t);
  
  disp('sinc(w) 函数的傅里叶逆变换是:');
  disp(ft); % 结果应为一个矩形脉冲
  
  figure;
  fplot(ft, [-3, 3], 'LineWidth', 2);
  title('ifourier 逆变换结果 - 矩形脉冲');
  ylim([-0.2 1.2]);