MATLAB 积分

积分是微积分的基石之一，用于求解面积、体积、累积变化量等问题。MATLAB 作为一个顶级的科学计算环境，提供了两大类截然不同的方法来进行积分运算：数值积分与符号积分。

• 数值积分 (Numerical Integration):

  • 适用场景: 当函数无法解析积分，或只有一组离散的 (x, y) 数据点时。
  • 核心思想: 使用数值方法（如梯形法则、辛普森法则、自适应求积）来近似计算定积分的值。
  • 特点: 结果是浮点数近似值，计算速度快，适用范围广。

• 符号积分 (Symbolic Integration):

  • 适用场景: 当你知道函数的精确数学表达式，并希望得到积分的解析表达式（反导数）时。
  • 核心思想: 应用微积分的积分法则，推导出精确的数学公式。
  • 特点: 结果是精确的符号表达式，可以进行进一步的符号运算。需要 Symbolic Math Toolbox。

数值积分 (Numerical Integration)

基于离散数据的积分

当你的数据来源于实验测量或采样，表现为一组 (x, y) 坐标点时，使用此类函数。

原理：梯形法则 (Trapezoidal Rule)

该方法将相邻数据点连接成直线，形成一系列梯形，然后将所有梯形的面积相加来近似曲线下的总面积。对于 N 个数据点，其数学表达式为：

\[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \sum_{i=1}^{N-1} \frac{y_i + y_{i+1}}{2} (x_{i+1} - x_i) \]

trapz - 离散数据梯形积分

• 功能 使用梯形法则计算离散数据点的定积分。

• 语法

  Q = trapz(Y)
  Q = trapz(X, Y)
  Q = trapz(___, dim)
  

• 语法说明

  • trapz(Y): 假设 X 坐标的间距为 1。
  • trapz(X, Y): 使用 X 和 Y 向量指定数据点。X 坐标可以是非均匀的。
  • trapz(___, dim): 如果 Y 是矩阵，则沿着指定的维度 dim 进行积分。

• 示例

  % 假设我们有以下离散数据点
  x = [0, 1, 2, 3, 4];
  y = [0, 2, 3, 2.5, 4];
  
  % 使用梯形法则计算曲线下的面积
  area = trapz(x, y);
  
  disp(['离散数据点的积分面积: ', num2str(area)]); % 结果为 9.75
  

cumtrapz - 离散数据累积积分

• 功能 计算累积梯形数值积分。返回一个与输入同等大小的向量，其中每个元素表示从起点到当前点的累积积分值。

• 语法

  Z = cumtrapz(Y)
  Z = cumtrapz(X, Y)
  

• 示例

  x = 0:pi/10:pi;
  y = sin(x);
  
  % 计算累积积分
  cumulative_area = cumtrapz(x, y);
  
  figure;
  plot(x, y, 'b-o', 'DisplayName', 'sin(x)');
  hold on;
  plot(x, cumulative_area, 'r-s', 'DisplayName', '累积积分');
  legend;
  title('cumtrapz - 累积积分示例');
  grid on;
  

基于函数句柄的积分

当你可以将函数写成 MATLAB 函数句柄 (@(x) ...) 的形式时，使用此类函数。它们通常比基于离散数据的方法更精确。

原理：自适应求积 (Adaptive Quadrature)

integral 及其系列函数的核心是自适应求积。其基本思想是“分而治之”：在函数变化平缓（“简单”）的区域使用较少的采样点，而在函数变化剧烈（“困难”）的区域使用更多的采样点，从而在保证精度的前提下实现最高效的计算。

其基本步骤如下：

1. 初步估计: 算法首先使用一个低阶的求积法则（如辛普森法则）在整个积分区间 \([a, b]\) 上计算一个积分近似值 \(I\)。

2. 区间细分与误差估计: 接着，算法将区间 \([a, b]\) 一分为二，在 \([a, c]\) 和 \([c, b]\) (其中 \(c = (a+b)/2\)) 两个子区间上分别计算积分，得到 \(I_1\) 和 \(I_2\)。通常情况下，\(I_1 + I_2\) 会是一个比 \(I\) 更精确的估计。这两者之差 \(|I - (I_1 + I_2)|\) 可以作为在 \([a, b]\) 上积分误差的一个估计。

3. 递归与决策: 算法将这个误差估计值与一个预设的容限 (Tolerance) 进行比较。

   • 如果误差小于容限: 说明当前区间的积分已经足够精确，算法接受更精确的估计 \(I_1 + I_2\) 作为结果，并停止对该区间的细分。
   • 如果误差大于容限: 说明当前区间函数变化复杂，需要进一步细化。算法将递归地对两个子区间 \([a, c]\) 和 \([c, b]\) 分别重复上述过程，并将容限减半分配给它们。

4. 结果汇总: 整个积分的值是所有被成功接受的子区间积分值之和。

通过这种方式，integral 能够自动地“适应”被积函数的特性，将计算资源集中在最需要的地方。

integral - 自适应一维数值积分

• 功能 一维数值积分。这是 MATLAB 推荐使用的、最强大和灵活的一维积分函数。

• 语法

  q = integral(fun, xmin, xmax)
  q = integral(fun, xmin, xmax, 'Name', Value)
  

• 语法说明

  • integral(fun, xmin, xmax): 计算函数 fun 从 xmin 到 xmax 的定积分。fun 必须是一个接受向量输入并返回向量输出的函数句柄。
  • 'Name', Value (名称-值对): 用于控制积分精度，如 'AbsTol' (绝对误差容限) 和 'RelTol' (相对误差容限)。

• 示例

  % 计算高斯函数 exp(-x^2) 在 (-Inf, Inf) 上的积分
  fun = @(x) exp(-x.^2);
  q = integral(fun, -Inf, Inf); % integral 可以处理无穷区间
  
  disp(['∫exp(-x^2)dx from -Inf to Inf 的结果: ', num2str(q)]); % 结果应接近 sqrt(pi)
  

integral2 - 数值二重积分

• 功能 二维数值积分，计算二重积分 \(\ds \int_{y_\mr{min}}^{y_\mr{max}} \int_{x_\mr{min}}^{x_\mr{max}} f(x,y) \,dx\,dy\)。

• 语法

  q = integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)
  

• 示例

  % 计算函数 f(x,y) = 1/(sqrt(x+y)*(1+x+y)^2) 的二重积分
  % 积分区域为 x∈[0,1], y∈[0, 1-x]
  fun = @(x, y) 1 ./ ( sqrt(x + y) .* (1 + x + y).^2 );
  
  % y 的上限是 x 的函数，所以 ymax 也是一个函数句柄
  ymax = @(x) 1 - x;
  
  q = integral2(fun, 0, 1, 0, ymax);
  
  disp(['二重积分结果: ', num2str(q)]); % 结果约为 0.2854
  

integral3 - 数值三重积分

• 功能 三维数值积分，计算三重积分。

• 语法

  q = integral3(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax)
  

• 示例

  % 计算一个单位球体上半部分的体积
  % 函数为 f(x,y,z) = 1
  fun = @(x, y, z) ones(size(x));
  
  % 定义积分区域
  xmin = -1; xmax = 1;
  ymin = @(x) -sqrt(1 - x.^2);
  ymax = @(x) sqrt(1 - x.^2);
  zmin = @(x,y) zeros(size(x));
  zmax = @(x,y) sqrt(1 - x.^2 - y.^2);
  
  volume = integral3(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax);
  
  disp(['单位半球体积: ', num2str(volume)]); % 结果应接近 2*pi/3
  

旧版函数

• quad, quadl, quadgk: 这些是旧版的一维积分函数，已被 integral 全面取代。quadgk 是 integral 的底层算法之一，有时用于处理路径上的奇点。
• dblquad, triplequad: 旧版的二维和三维积分函数，已被 integral2 和 integral3 取代。

符号积分 (Symbolic Integration)

这类函数作用于符号变量和表达式，需要 Symbolic Math Toolbox。

原理：符号计算

int 函数利用内置的微积分规则库来查找函数的反导数。

• 不定积分: 寻找函数 \(F(x)\)，使得 \(F'(x) = f(x)\)。
• 定积分: 根据牛顿-莱布尼茨公式计算： [ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) ]

int - 符号不定与定积分

• 功能 计算符号表达式的不定积分（反导数）和定积分。

• 语法

  F = int(expr)
  F = int(expr, var)
  F = int(expr, a, b)
  F = int(expr, var, a, b)
  

• 语法说明

  • int(expr): 计算 expr 关于默认符号变量的不定积分。
  • int(expr, var): 计算 expr 关于符号变量 var 的不定积分。
  • int(expr, a, b): 计算 expr 关于默认符号变量的定积分，积分区间为 [a, b]。
  • int(expr, var, a, b): 计算 expr 关于 var 的定积分。

• 示例

  syms x t
  
  % --- 不定积分 ---
  f_indef = 1 / (1 + t^2);
  indef_integral = int(f_indef, t);
  disp('不定积分 ∫1/(1+t^2) dt:');
  disp(indef_integral); % 结果: atan(t)
  
  % --- 定积分 ---
  f_def = x * exp(-x^2);
  def_integral = int(f_def, x, 0, inf); % inf 代表无穷大
  disp('定积分 ∫x*exp(-x^2) dx from 0 to Inf:');
  disp(def_integral); % 结果: 1/2